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JulienC
Doctoral thesis

Caractérisation des automorphismes CR d'une classe d'hypersurfaces dans C⁴ : le problème PQR

SPR

  • Fribourg, Suisse, 2022

1 ressource en ligne (167 pages)

PhD: Université de Fribourg (Suisse), 16.11.2022

English French This dissertation is about the stability group Aut(Mg), which is the set of all the automorphisms (or biholomorphisms stabilizing a point) of a real and smooth hypersurface Mg. In order to study Aut(Mg), one can classify real-analytic infinitesimal CR-automorphisms hol(M) of an easier homogeneous polynomial and model hypersurface M. M is associated with Mg in the sense that its defining equation is constituted only of the first terms of Taylor’s development of the equation of Mg. Some general results exist in Cn+1 ; more detailed results appear in C3 ; and this dissertation will provide new results in C4 . Hypersurfaces that are relevant to study are real, holomorphically nondegenerate, of finite type and Levi degenerate. Chapter 1 introduces the elementary notions, the study question as well as all the main results. Chapter 2 is about the general framework in Cn+1. Based on "Chern-Moser operators and polynomial models in CR geometry", this chapter introduces the complete approach that uses the Chern-Moser operator, supported by more precise explanations and examples. Chapter 3 has a dual purpose. To begin with, it serves as a springboard before generalizing in C4. In this sense, it rephrases the results of "Infinitesimal CR automorphisms for a class of polynomial models" and offers a description of the real-analytic infinitesimal CR-automorphisms of a homogeneous and model hypersurface of C3, M, described by the following equation : Im w = PQ + QP, where (z,w) = (z1, z2,w) 2 C3, and P and Q are polynomials in z. In addition, this chapter provides important specifications on this case, particularly regarding the decomposition of rotations. Chapter 4 introduces the newest contributions on a homogeneous hypersurface M of C4 described as follows : Imw = PQ + QP + RR, where (z,w) = (z1, z2, z3,w) 2 C4, and P, Q and R are polynomials in z. This case is called the PQR problem. A model case serves as an introduction to this chapter in section 4.1. A decoupled case (for which a variable is strictly reserved to R) gives interesting results in 4.2. However, as presented in 4.3, it is the general case, although monomial, that seems important : the theorem that describes the decomposition of rotations proves to be the most important result. The dimension of the set of the real-analytic infinitesimal CR-automorphisms of the hypersurface are detailed. Chapter 5 broadens the perspectives and offers new leads, while keeping in mind the fundamental link between M and Mg, that is between real-analytic infinitesimal CR-automorphisms described from the model hypersurface, and the automorphisms of the general hypersurface. Cette thèse de doctorat s’intéresse au groupe de stabilité, Aut(Mg), qui est l’ensemble des automorphismes (ou biholomorphismes fixant un point) d’une hypersurface réelle et continue Mg. Pour étudier Aut(Mg), il s’avère suffisant de classifier l’ensemble des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR, hol(M), d’une hypersurface, M, plus simple, polynomiale, homogène et modèle. M est associée à Mg dans le sens que son équation définissante n’est constituée que des premiers termes du développement de Taylor de celle qui définit Mg. Certains résultats généraux, dans Cn+1, existent ; des résultats plus précis existent dans C3 ; et, nous apportons dans ce travail des résultats pour C4. Les hypersurfaces qu’il s’avère pertinent d’étudier sont réelles, holomorphiquement non dégénérées, de type fini et Levi dégénérées. Le chapitre 1 présente les notions élémentaires, une problématique ainsi que l’ensemble des résultats principaux. Le chapitre 2 traite du cadre général, dans Cn+1. Inspiré de « Chern-Moser operators and polynomial models in CR geometry », ce chapitre présente la description complète de la démarche générale qui a pour outil l’opérateur de Chern-Moser, appuyée par des précisions ainsi que des exemples. Le but du chapitre 3 est double. D’une part, il est à considérer comme tremplin avant la généralisation dans C4 et dans ce sens, il reformule les résultats de « Infinitesimal CR automorphisms for a class of polynomial models » et offre une description des automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR d’une hypersurface homogène et modèle de C3, M, décrite par l’équation Imw = PQ + QP, où (z,w) = (z1, z2,w) 2 C3, et P et Q sont des polynômes en z. D’autre part, ce chapitre apporte plusieurs précisions importantes pour ce cas, notamment concernant la décomposition des rotations. Le chapitre 4 présente les nouvelles contributions concernant une hypersurface homogène M de C4 décrite par Imw = PQ + QP + RR, où (z,w) = (z1, z2, z3,w) 2 C4, et P, Q et R sont à nouveau des polynômes en z. Ce cas est appelé problème PQR. Un cas modèle est à considérer comme une introduction, un cas découplé (pour lequel une variable est strictement réservée à R) donne des résultats intéressants, mais c’est surtout le cas général, toutefois monomial, qui semble important : le théorème qui décrit une décomposition des rotations s’avère être le résultat le plus important, mais la dimension de l’ensemble de tous les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR de l’hypersurface est détaillée. Le chapitre 5 ouvre la porte aux perspectives nouvelles et propose de nouvelles pistes, tout en rappelant le lien fondamental entre M et Mg, entre les automorphismes infinitésimaux réels analytiques CR décrits de l’hypersurface modèle et les automorphismes de l’hypersurface générale.
Faculty
Faculté des sciences et de médecine
Language
  • French
Classification
Mathematics
Notes
  • Bibliographie
License
CC BY
Open access status
diamond
Identifiers
Persistent URL
https://folia.unifr.ch/unifr/documents/330208
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