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Doctoral thesis

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Weak-coupling instabilities of two-dimensional lattice electrons

    15.04.2002

109 p

Thèse de doctorat: Université de Fribourg , 2002

English French German Interacting e1ectrons in two dimensions are of particular interest in relation to high-temperature superconductivity. In this thesis, I study a two-dimensional extended Hubbard model in the weak coupling limit. Quite generally, the electron gas is unstable towards a superconducting state even in the absence of phonons. However in the special case of a half-filled band, the Fermi surface is nested and the system is at a Van love singularity. In this situation, there are six competing instabilities: s- and d-wave superconductivity, spin-and charge-density waves and two phases with circulating charge and spin currents, respectively. The required renormalization group formalism is presented on a most elementary level, connecting the idea of the “parquet summation” to the more modem concept of Wilson’s effective action. As a result, a rich phase diagram is obtained as a function of the model interaction. This phase diagram is exact in the weak coupling limit, since the transition line between two neighboring phases is then fixed by symmetries. The physical picture of each instability is completed by studying the low temperature behavior of the spin susceptibility and the charge compressibility. We also observe a general trend towards a Fermi surface distortion, but the nesting is not destroyed. In summary, the weak-coupling theory of the Hubbard model reproduces two essential features of the cuprates, namely an antiferromagnetic phase at half-filling and d-wave superconductivity in the doped material. But it does not explain the unusual properties of the metallic state in the underdoped regime. A consequent extension of the perturbative approach to sub-leading orders which would imply self-energy corrections could reveal further insight, but the required techniques are not yet fully developed. Les systèmes électroniques bidimensionnels sont d’une grande actualité tout particulièrement depuis la découverte de la supraconductivité à haute température. Ici, on se restreint à l’étude d’un modèle de Hubbard étendu, à la limite d’un couplage faible. En général, le gaz électronique subit une instabilité supraconductrice même sans phonons. Cependant, dans le cas spécial d’une bande demi-remplie, la surface de Fermi est emboîtée et se trouve à une singularité de Van Hove. Cette situation conduit à une compétition entre six instabilités différentes. Outre la supraconductivité en onde s et d, on trouve des ondes de densités de spin et de charge ainsi que deux phases qui sont caractérisées par des courants circulaires de charge et de spin respectivement. Le formalisme du groupe de renormalisation est présenté en reliant l’idée de la “sommation parquet” au concept plus moderne de l’action effective de Wilson. Comme résultat on obtient un diagramme de phases riche en fonction de l’interaction du modèle. Ce diagramme de phase est exact dans la limite d’une interaction infiniment faible, puisque dans ce cas les lignes de transitions sont fixées par des symétries du modèle. Les comportements à basse température de la susceptibilité de spin ainsi que de la compressibilité de charge complètent l’image physique de ces instabilités. Il s’avère que la surface de Fermi à une tendance générale de se déformer spontanément, mais l’emboîtement n’est pas détruite. En résumé, le modèle de Hubbard à couplage faible reproduit deux propriétés essentielles des cuprates: une phase antiferromagnétique à demi remplissage et la supraconductivité en onde d dans le cas dopé. Mais elle n’explique pas les propriétés inhabituelles de l’état métallique dans le régime sous-dopé. Une extension systématique de l’approche perturbative pourrait aider à mieux comprendre ces propriétés, mais reste difficile puisque les techniques nécessaires ne sont pas encore complètement développées. Das Problem wechselwirkender Elektronen in zwei Dimensionen ist spätestens seit der Entdeckung der Hoch-Temperatur-Supraleitung von grosser Aktualität und Gegenstand intensiver Forschungstätigkeit. In der vorliegenden Arbeit wird ein erweitertes Hubbard-Modell auf einem Quadratgitter untersucht. Obwohl man weiss, dass die Leitungselektronen in den Kupraten relativ stark miteinander wechselwirken, beschränke ich mich hier bewusst auf den Grenzfall einer schwachen Wechselwirkung zwischen den Elektronen. Selbst eine beliebig schwache Wechselwirkung führt bei genügend tiefer Temperatur zur Bildung von starken Korrelationen und schliesslich zum Phasenübergang in einen geordneten Zustand. Die Natur dieser Instabilität hängt stark von den Eigenschaften der Fermi-Fläche ab. Wenn keine besondere Situation vorliegt, ist es ein Obergang in einen supraleitenden Zustand. Dies obwohl die Wechselwirkung der Elektronen rein repulsiv ist und keine phononischen Freiheitsgrade berücksichtigt werden. Eine mögliche Interpretation dieses Resultats ist, dass der Austausch antiferromagnetischer Spinfluktuationen auf eine effektive Anziehung zwischen den Quasiteilchen führt. Im Spezialfall halber Bandfüllung erfüllt die Fermi-Fläche die ,,perfect nesting”-Eigenschaft. Gleichzeitig hat die Dispersionsrelation der Elektronen einen Sattelpunkt am Fermi-Niveau, was zu einer Van-Hove-Singularität in der Zustandsdichte führt. Diese beiden Eigenschaften bewirken, dass es zu einem Wettbewerb zwischen sechs verschiedenen Instabilitäten kommt. Neben s- und d-Wellen Supraleitung kann eine Spindichteweile oder Ladungsdichtewelle auftreten. Die zwei weiteren Instabilitäten sind sogenannte Flussphasen, die durch spontan zirkulierende Ladungsströme, respektive Spinströme charakterisiert sind. Um die konkurrierenden Instabilitäten vorurteilslos gegeneinander abzuwägen, benötigt man die Technik der Renormierungsgruppe. Der nötige Formalismus wird hier auf einem möglichst elementaren Niveau präsentiert. Die Idee ist dabei, ausgehend von der naiven Störungsrechnung die dominanten Terme (d.h. die Klasse der Parkett-Diagramme) konsistent aufzusummieren. Das modernere Konzept der Wilson’schen effektiven Wirkung wird ebenfalls kurz diskutiert und zu dem hier verwendeten Ansatz in Bezug gebracht. Als Resultat erhalte ich ein Phasendiagramm als Funktion der Model-Wechselwirkung, die neben dem üblichen Hubbard-Term auch eine Dichte-Dichte- und Spin-Spin-Wechselwirkung zwischen benachbarten Gitterplätzen enthält. Für das repulsive Hubbard-Modell erhält man wie erwartet eine Spindichteweile. Dieses Phasendiagram ist im Grenzfall unendlich schwacher Wechselwirkung vermutlich exakt, denn auf der Grenzlinie zwischen zwei benachbarten Phasen weist das System dann jeweils eine besondere Symmetrie auf, die die Entartung der beiden benachbarten Phasen garantiert. Das physikalische Bild dieser Instabilitäten wird ergänzt durch Grössen wie die uniforme Spin-Suszeptibilität und die Ladungs-Kompressibilität, deren Verhalten bei tiefen Temperaturen qualitativ vorausgesagt wird. Dabei zeigt sich eine allgemeine Tendenz zur spontanen Verformung der Fermi-Fläche (Pomeranchuk-Instabilität), die jedoch nicht notwendigerweise mit einer Zerstörung der ,,perfect nesting”-Eigenschaft einhergeht. Obwohl sich die konkurrierenden Supraleitungs-, Spin- und Ladungskorrelationen gegenseitig beeinflussen, kann sich die führende Instabilität letztlich ais einzige ungehindert entwickeln. Dieses Resultat ist im Widerspruch zu älteren Lösungsvorschlägen, wo die Spindichteweile jeweils zusammen mit der d-Wellen Supraleitung und der Ladungs-Flussphase auftrat. Abschliessend stellt man fest, dass sich zwei wesentliche Eigenschaften der supraleitenden Kuprate im schwach wechselwirkenden zweidimensionalen Hubbard-Modell wiederfinden. Nämlich eine antiferromagnetisch geordnete Phase bei halber Bandfüllung und das Auftreten von d-Wellen Supraleitung im dotierten Material. Leider ergibt sich aus der vorliegenden Theorie, die von schwacher Wechselwirkung ausgeht, keine Erklärung der aussergewöhnlichen Eigenschaften in der metallischen Phase des optimal dotierten und unterdotierten Bereichs. Starke Wechselwirkung scheint daher ein unabdingbarer Bestandteil für eine adäquate Theorie dieser Materialien zu sein. Trotzdem könnte sich eine konsequente Weiterführung des hier verwendeten störungstheoretischen Ansatzes ais durchaus fruchtbar erweisen, wobei unter anderem die Selbstenergie der Elektronen wichtig wird. Die dazu notwendige Technik ist jedoch noch nicht ausreichend entwickelt.
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  • English
Classification
Physics
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  • Texte anglais avec résumés en français, allemand et anglais
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